하우스도르프 측도

측도론에서 하우스도르프 측도(영어: Hausdorff measure)는 임의의 거리 공간에 $d$차원 "부피"를 부여하는 방법이다.

정의

거리 공간 $(X,d_{X})$의 지름은 다음과 같다.

$\operatorname {diam} X=\sup\{d_{X}(x,y)\colon x,y\in X\}\qquad (X\neq \varnothing )$

$\operatorname {diam} \varnothing =0$

임의의 $d>0$ 및 $\delta >0$에 대하여, 함수

$H_{\delta }^{d}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$

$H_{\delta ,{\text{open}}}^{d}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$

$H_{\delta ,{\text{closed}}}^{d}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$

를 다음과 같이 정의하자.

$H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{U\in {\mathcal {U}}}(\operatorname {diam} U)^{d}\colon {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X),\;|{\mathcal {U}}|\leq \aleph _{0},\;\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U\supseteq S,\;\forall U\in {\mathcal {U}}\colon \operatorname {diam} U<\delta \right\}$

$H_{\delta ,{\text{open}}}^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{U\in {\mathcal {U}}}(\operatorname {diam} U)^{d}\colon {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X),\;|{\mathcal {U}}|\leq \aleph _{0},\;\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U\supseteq S,\;\forall U\in {\mathcal {U}}\colon \operatorname {diam} U<\delta ,\,U{\text{ open}}\right\}$

$H_{\delta ,{\text{closed}}}^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{U\in {\mathcal {U}}}(\operatorname {diam} U)^{d}\colon {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X),\;|{\mathcal {U}}|\leq \aleph _{0},\;\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U\supseteq S,\;\forall U\in {\mathcal {U}}\colon \operatorname {diam} U<\delta ,\,U{\text{ closed}}\right\}$

그렇다면 하우스도르프 외측도

$H^{d}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$

는 다음과 같다.

$H^{d}(S)=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)=\sup _{\delta >0}H_{\delta ,{\text{open}}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta ,{\text{open}}}^{d}(S)=\sup _{\delta >0}H_{\delta ,{\text{closed}}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta ,{\text{closed}}}^{d}(S)$

즉, 덮개를 열린 집합 또는 닫힌 집합에 국한하여도 상관없다. 이는 외측도를 이루며, 이를 하우스도르프 외측도에 대한 카라테오도리 가측 집합들로 국한하면 이는 측도를 이룬다. 이를 $d$차원 하우스도르프 측도라고 한다.

성질

하우스도르프 측도는 완비 측도이다.

모든 보렐 집합은 하우스도르프 가측 집합이며, 완비 측도이므로 모든 르베그 가측 집합 역시 하우스도르프 가측 집합이다.

$n$차원 유클리드 공간에서, $n$차원 하우스도르프 가측 집합들은 르베그 가측 집합과 일치하며, 이 경우 하우스도르프 측도는 (상수 계수를 제외하고) 르베그 측도와 일치한다. $n\neq d$일 경우 $d$차원 하우스도르프 가측 집합 가운데 르베그 가측 집합이 아닌 것이 있을 수 있다.

수슬린(영어: Souslin) 거리 공간 $(X,d_{X})$ 위의 $d$차원 하우스로르프 측도 $H^{d}$를 생각하자. 그렇다면, 임의의 보렐 집합 $B\in {\mathcal {B}}(X)$ 및 $\epsilon >0$에 대하여,

$H^{d}(B)-\epsilon \leq H^{d}(K_{B,\epsilon })<\infty$

인 콤팩트 집합 $K_{B,\epsilon }\subseteq B$가 존재한다.^{:140, §7.14.x, Theorem 7.14.31}

같이 보기

• 하우스도르프 차원

외부 링크

• “Hausdorff measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hausdorff measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.